Question

已知動圓Q經過點A,且與直線相切，動圓圓心Q的軌跡為曲線C，過定點作與y軸平行的直線且和曲線C相交于點M₁,然后過點M₁作C的切線和x軸交于點,再過作與y軸平行的直線且和C相交于點M₂,又過點M₂作C的切線和x軸交于點,如此繼續下去直至無窮，記△的面積為
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）試求的值。

Answer 1

（Ⅰ）曲線C的方程為 
（Ⅱ）

（Ⅰ）由題意知，動圓圓心Q到點A和到定直線的距離相等，
∴動圓圓心Q的軌跡是以點A為焦點，以直線為準線的拋物線
∴曲線C的方程為。 -------------------------------------------------4分
（Ⅱ）如圖，設點，則的坐標為，
，∴曲線C在點處的切線方程為： -----------7分

令y＝0，得此切線與x軸交點的橫坐標，即，， ---------10分
∴
∴數列是首項公比為的等比數列， -----12分
 -------------14分