Question

設一個正三棱錐的側面與底面所成的角為α，相鄰兩個側面所成的角為β，那么兩個角α和β的三角函數間的關系是（　　）

A．2cos²α+3cosβ=1

B．2cosα+3cos²β=1

C．3cos²α+2cosβ=1

D．3cosα+2cos²β=1

Answer 1

分析：由題設條件及四個選項可以得出需要先做出兩個二面角，再由題設中的等量關系建立方程研究兩個二面角的關系，由圖形及題設條件知在如圖圖形中作SD⊥BC，連接AD，作SH⊥AD，則SH⊥底面ABC，可得BE⊥SA，連接CE，則CE⊥SA，∠BEC是二側面成角的平面角，觀察三角形BEC，可將此三角形的邊用要研究的角α，β表示出來，在此三角形中利用余弦定理得到方程，整理出選項．

解答：解：設正三棱錐S-ABC，側面與底面所成的角為α，相鄰兩個側面所成的角為β，作SD⊥BC，連接AD，作SH⊥AD，則SH⊥底面ABC，可得BE⊥SA，連接CE，則CE⊥SA，∠BEC是二側面成角的平面角，
設AB=BC=AC=1個單位，
AD=

3

2

，HD=

3

2 3

=

3

6

，AH=

3

3

，

SD

HD

=cosα，SD=

3

6cosα

，SH=

3? tanα

6

，
SA=

SH2+AH2

=

tan2α 12 + 1 3

=

3tan2α+12

6

，
又BE×SA×

1

2

=SD×AB×

1

2

=S_△SAB，
∴BE=

SD×AB

SA

=

3 6cosα

3tan2α+12 6

=

1

1+3cos2α

在三角形EBC中根據余弦定理，
BC²=BE²+EC²-2×BE×EC×cosβ，
1=

1

1+3cos2α

+

1

1+3cos2α

-2×

1

1+3cos2α

×cosβ，
經整理得：3cos²α+2cosβ=1，
故選C

點評：本題考查二面角的平面角及求法，由于本題是要研究兩個二面角有關的方程問題，從題設條件中找到等量關系是解題的關鍵，本題中用余弦定理建立起等式，整理出答案，本題中熟練掌握二面角平面角的作法也很關鍵，本題考查了推理論證能力及空間想像感知能力，且與余弦定理想結合，綜合性較強，有一定的思維深度，運算量較大易因為計算出錯或因為找不到等量關系而賣到解題無法下手．