Question

如圖所示，橢圓的離心率為，且A(0，1)是橢圓C的頂點．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點A作斜率為1的直線l，設(shè)以橢圓C的右焦點F為拋物線E：y²＝2px(p＞0)的焦點，若點M為拋物線E上任意一點，求點M到直線l距離的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)由題意可知，　1分

　　

　　即　3分

　　所以橢圓C的方程為：　4分

　　(2)方法一：由(1)可求得橢圓C的右焦點坐標(biāo)F(1，0)　6分

　　拋物線E的方程為：，

　　而直線的方程為

　　設(shè)動點M為，則點M到直線的距離為　8分

　　　13分

　　即拋物線E上的點到直線距離的最小值為　14分

　　方法二：由(1)可求得橢圓C的右焦點坐標(biāo)F(1，0)　6分

　　拋物線E的方程為：，

　　而直線的方程為

　　可設(shè)與直線平行且拋物線E相切的直線方程為：　8分

　　由

　　可得：　9分

　　，

　　解得：，

　　直線方程為：　11分

　　拋物線上的點到直線的距離的最小值等于直線與的距離：

　　　13分

　　即拋物線E上的點到直線距離的最小值為　14分