Question

設a∈R，函數f（x）=x³-x²-x+a．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x∈[0，2]時，若|f（x）|≤2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導，令f′（x）＞0求出函數的增區間，令f′（x）＜0求出函數的減區間；
（II）由（Ⅰ）知，f（x）在[0，2]上的單調性，求得函數的極值，和f（0）、f（1）比較大小，確定函數的最大值．

解答：解：（Ⅰ）對函數f（x）求導數，得f'（x）=3x²-2x-1
令f'（x）＞0，解得x＞1，或x＜-

1

3

令f'（x）＜0，解得-

1

3

＜x＜1．
所以，f（x）的單調遞增區間為(-∞，-

1

3

)和（1，+∞）；
f（x）的單調遞減區間為（-

1

3

，1）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增，
所以，f（x）在[0，2]上的最小值為f（1）=-1+a
由f（0）=a，f（2）=2+a，知f（0）＜f（2）
所以，f（x）在[0，2]上的最大值為f（2）=2+a
因為，當x∈[0，2]時，|f（x）|≤2?-2≤f（x）≤2?

-1+a≥-2 2+a≤2

解得-1≤a≤0，
即a的取值范圍是[-1，0]．

點評：考查利用導數研究函數的單調性和函數的最值問題，（Ⅱ）的解答體現 了轉化的思想方法，屬中檔題．