Question

（14分）已知函數，其中常數。
（1）當時，求函數的單調遞增區間；
（2）當時，是否存在實數，使得直線恰為曲線的切線？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
（3）設定義在上的函數的圖象在點處的切線方程為，當時，若在內恒成立，則稱為函數的“類對稱點”。當，試問是否存在“類對稱點”？若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）。（2）不存在；（3）存在“類對稱點”，是一個“類對稱點”的橫坐標。

試題分析：（1），其中，…………………. ………. ……………2
令得或.……………………………
當及時，當時，……………3
的單調遞增區間為。……………………….4
（2）當時，，其中，
令，…………………………5
方程無解，…………………………………………………6
不存在實數使得直線恰為曲線的切線。………7
（3）由（2）知，當時，函數在其圖象上一點處的切線方程為………………..8
設則  …………………………………….9

若在上單調遞減，時，，此時………………………………….
若在上單調遞減，時，，此時……………………………………
在上不存在“類對稱點”………………..11
若在上是增函數，
當時，，當時，，故
即此時點是的“類對稱點”
綜上，存在“類對稱點”，是一個“類對稱點”的橫坐標。…….14
點評：①本題主要考查函數的單調增區間的求法，以及探索滿足條件的實數的求法，探索函數是否存在“類對稱點”．解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．②利用導數求函數的單調區間時一定要先求函數的定義域。