Question

已知橢圓C₁，拋物線C₂的焦點均在y軸上，C₁的中心和C₂ 的頂點均為坐標原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

x	0	-1	2	4
y	-2 2	1 16	-2	1

（Ⅰ）求分別適合C₁，C₂的方程的點的坐標；
（Ⅱ）求C₁，C₂的標準方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）拋物線方程可設(shè)為x²=my，將（4，1）和（-1，

1

16

）代入拋物線方程得到的解相同，可得拋物線方程，從而可知另外兩點在橢圓C₁上；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程，設(shè)出橢圓方程，代入另外兩點坐標，即可求出橢圓方程．

解答：解：（Ⅰ）橢圓C₁，拋物線C₂的焦點均在y軸上，
∴拋物線方程可設(shè)為x²=my，
將（4，1）和（-1，

1

16

）代入拋物線方程得到的解相同，且m=16；
∴（0，-2

2

）和（

2

，-2）在橢圓C₁上；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，拋物線方程為x²=16y．
設(shè)橢圓C₁的標準方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
將（0，-2

2

）和（

2

，-2）代入可得a=2

2

，b=2，
∴橢圓C₁的標準方程為

y2

8

+

x2

4

=1．

點評：本題考查橢圓、拋物線的方程，考查學生的計算能力，正確設(shè)出拋物線、橢圓的方程是關(guān)鍵．