Question

（本小題滿分14分）
設函數，其中．
( I )若函數圖象恒過定點P，且點P在的圖象上，求m的值；
(Ⅱ)當時，設，討論的單調性；
(Ⅲ)在(I)的條件下，設，曲線上是否存在兩點P、Q，
使△OPQ(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，且該三角形斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（1）（2）時，在上為增函數，
時，在上為增函數，在為減函數（3）如果存在滿意條件的、，則的取值范圍是

解析試題分析：解：（Ⅰ）令，則，即函數的圖象恒過定點
則
（Ⅱ），定義域為，

=
=
，則
當時，
此時在上單調遞增，
當時，由得
由得，
此時在上為增函數，
在為減函數，
綜上當時，在上為增函數，
時，在上為增函數，在為減函數，
（Ⅲ）由條件（Ⅰ）知
假設曲線上存在兩點、滿足題意，則、兩點只能在軸兩側
設，則
是以為直角頂點的直角三角形，
①
（1）當時，
此時方程①為，化簡得.
此方程無解，滿足條件的、兩點不存在.
（2）當時，，方程①為
即
設，則
顯然當時即在上為增函數，
的值域為，即，

綜上所述，如果存在滿意條件的、，則的取值范圍是.
考點：本試題考查了導數的運用。
點評：解決該試題的關鍵是利用圖像過定點得到參數的值，進而求解得到解析式。同時利用導數的符號判定函數單調性，同時要注意對于含有參數的函數進行分類討論得到結論。二對于不等式的證明，一般利用構造函數，運用導數求解最值，得到參數的范圍，屬于中檔題。