Question

已知函數的導函數是，在處取得極值，且

，

（Ⅰ）求的極大值和極小值；

（Ⅱ）記在閉區間上的最大值為，若對任意的總有

成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）設是曲線上的任意一點．當時，求直線OM斜率的最

小值，據此判斷與的大小關系，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的極大值和極小值分別為4和0 （Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（I）依題意，，解得，

由已知可設，因為，所以，

則，導函數．

列表：

		1	（1,3）	3	（3，＋∞）
	+	0	-	0	+
	遞增	極大值4	遞減	極小值0	遞增

由上表可知在處取得極大值為，

在處取得極小值為．

（Ⅱ）①當時，由（I）知在上遞增，

所以的最大值，

由對任意的恒成立，得，則，

因為，所以，則，

因此的取值范圍是．

②當時，因為，所以的最大值，

由對任意的恒成立，得，∴，

因為，所以，因此的取值范圍是，

綜上①②可知，的取值范圍是．

（Ⅲ）當時，直線斜率，

因為，所以，則，

即直線斜率的最小值為4 

首先，由，得.

其次，當時，有，所以，

證明如下：記，則，

所以在遞增，又，

則在恒成立，即，所以.

考點：利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的極值．

點評：本題考查導數的應用，考查函數極值的求法，考查實數的取值范圍的求法，考查兩個數比較大小的方法．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．