Question

（2012•福建模擬）2012年3月2日，國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質量標準》．其中規(guī)定：居民區(qū)的PM2.5年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米． 某城市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)去年20天PM2.5的24小時平均濃度的監(jiān)測數據，數據統(tǒng)計如下：

組別	PM2.5濃度 （微克/立方米）	頻數（天）	頻率
第一組	（0，25]	5	0.25
第二組	（25，50]	10	0.5
第三組	（50，75]	3	0.15
第四組	（75，100）	2	0.1

（Ⅰ）從樣本中PM2.5的24小時平均濃度超過50微克/立方米的5天中，隨機抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度超過75微克/立方米的概率；
（Ⅱ）求樣本平均數，并根據樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進？說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 設PM2.5的24小時平均濃度在（50，75]內的三天記為A₁，A₂，A₃，PM2.5的24小時平均濃度在（75，100）內的兩天記為B₁，B₂，求出基本事件總數，符合條件的基本事件總數，即可求得概率；
（Ⅱ）利用組中值×頻數，可得去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度，進而可判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進．

解答：解：（Ⅰ） 設PM2.5的24小時平均濃度在（50，75]內的三天記為A₁，A₂，A₃，PM2.5的24小時平均濃度在（75，100）內的兩天記為B₁，B₂．
所以5天任取2天的情況有：A₁A₂，A₁A₃，A₁B₁，A₁B₂，A₂A₃，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂共10種．       …（4分）
其中符合條件的有：A₁B₁，A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂共6種．  …（6分）
所以所求的概率P=

6

10

=

3

5

．                 …（8分）
（Ⅱ）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為：12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40（微克/立方米）．…（10分）
因為40＞35，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質量標準，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進．   …（12分）

點評：本題主要考查頻率分布表、古典概型、統(tǒng)計等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力以及應用意識，考查必然與或然思想等．