Question

設f（x）=xlog_ax+（1-x）log_a（1-x）（a＞1）
（1）判斷f（x）的單調性；
（2）已知m+n=4，且m＞0，n＞0，求mlog₄m+nlog₄n的最小值．

Answer 1

解：（1）由f′（x）=log_ax+-log_a（1-x）-=log_ax-log_a（1-x）=log_a
令f′（x）=0得x=
∵a＞1，∴當0＜x＜時，，f′（x）＜0；同理，當時，f′（x）＞0
∴f（x）在（0，）上遞減，在（，1）上遞增…（6分）
（2）由（1）知，f（x）在x=處取最小值，f（x）_min=f（）=log_a
令m=4m₁，n=4n₁，則m₁+n₁=1，所以mlog₄m+nlog₄n=4[1+m₁log₄m₁+（1-m₁）log₄（1-m₁）]≥4（1+log₄）=2
∴mlog₄m+nlog₄n的最小值為2．…（12分）
分析：（1）求導函數，令f′（x）=log_a=0得x=，利用導數的正負，即可確定函數的單調性；
（2）由（1）知，f（x）在x=處取最小值，f（x）_min=f（）=log_a，令m=4m₁，n=4n₁，則m₁+n₁=1，所以mlog₄m+nlog₄n=4[1+m₁log₄m₁+（1-m₁）log₄（1-m₁）]，由此可得結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查最值的求解，解題的關鍵是求導確定函數的最值．