Question

某公司承建扇環面形狀的花壇如圖所示，該扇環面花壇是由以點為圓心的兩個同心圓弧、弧以及兩條線段和圍成的封閉圖形．花壇設計周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設小圓弧所在圓的半徑為米（），圓心角為弧度．

（1）求關于的函數關系式；
（2）在對花壇的邊緣進行裝飾時，已知兩條線段的裝飾費用為4元/米，兩條弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用的比為，當為何值時，取得最大值？

Answer 1

（1）；（2）參考解析

解析試題分析：（1）由于花壇設計周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設小圓弧所在圓的半徑為米（），圓心角為弧度.所以AD的弧長為，BC的弧長為.所以可得.即可得結論.
（2）由花壇兩條線段的裝飾費用為4元/米，兩條弧線部分的裝飾費用為9元/米．即可得所需費用的關系式. 花壇的面積由大扇形面積減去小的扇形面積即可，再利用基本不等式即可求得結論.
試題解析：(1)設扇環的圓心角為q，則，
所以，
(2)花壇的面積為
．
裝飾總費用為，
所以花壇的面積與裝飾總費用的比，
令，則，當且僅當t=18時取等號，
此時．
答：當時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大．
考點：1.扇形的面積.2.函數的最值.3.基本不等式的應用.