Question

（本小題滿分14分）

已知函數，設曲線在與軸交點處的切線為

，為的導函數，滿足．

（1）求；

（2）設，，求函數在上的最大值；

（3）設，若對一切，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1），                       ………………………………1分

，函數的圖像關于直線對稱，則．……2分

直線與軸的交點為，

，且，

即，且，

解得，．                       …………………………………………4分

則．                 …………………………………………5分

（2），

 

 

 

     ………………………………………7分

其圖像如圖所示．

當時，，根據圖像得：

（ⅰ）當時，最大值為；

（ⅱ）當時，最大值為；

（ⅲ）當時，最大值為．    …………………………………10分

（3）方法一：，

，，

當時，，

不等式恒成立等價于且恒成立，

由恒成立，得恒成立，

當時，，，

，                            ……………………………………………12分

又當時，由恒成立，得，

因此，實數的取值范圍是．              …………………………………14分

 

 

 

方法二：（數形結合法）作出函數的圖像，其圖像為線段（如圖），

的圖像過點時，或，

要使不等式對恒成立，

必須，     …………………………………12分

又當函數有意義時，，

當時，由恒成立，得，

因此，實數的取值范圍是．              …………………………………14分

方法三：， 的定義域是，

要使恒有意義，必須恒成立，

，，即或． ………………①       …………………12分

由得，

即對恒成立，

令，的對稱軸為，

則有或或

解得．  ………………②

綜合①、②，實數的取值范圍是．        …………………………………14分

 

【解析】略