Question

已知sinα=

4

5

，α∈(

π

2

，

3π

2

)
（1）求sin2α-cos²

α

2

的值；
（2）求函數f（x）=

5

6

cosαsin2x-

1

2

cos2x的最小正周期和單調增區間．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的三角函數公式化簡，得原式=2sinαcosα-

1

2

（1+cosα）．根據sinα=

4

5

，利用同角三角函數的關系算出cosα=-

3

5

，代入化簡后的式子即可得到所求式子的值．
（2）由（1）知f（x）=-

1

2

sin2x-

1

2

cos2x，利用輔助角公式化簡得f（x）=-

2

2

sin（2x+

π

4

），再根據三角函數的周期公式和單調區間的公式加以計算，即可得出函數f（x）的最小正周期和單調增區間．

解答：解：（1）∵sinα=

4

5

，α∈(

π

2

，

3π

2

)
∴cosα=-

1-sin2α

=-

3

5

（舍正）
∴sin2α-cos²

α

2

=2sinαcosα-

1

2

（1+cosα）
=2×

4

5

×（-

3

5

）-

1

2

（1-

3

5

）=-

29

25

．
（2）由（1）的結論，可得
f（x）=

5

6

×（-

3

5

）×sin2x-

1

2

cos2x=-

1

2

sin2x-

1

2

cos2x=-

2

2

sin（2x+

π

4

）
∴函數f（x）的最小正周期=

2π

2

=π，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ（k∈Z）．
∴函數f（x）的增區間為[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]．（k∈Z）

點評：本題求三角函數式的值，并依此求函數f（x）的最小正周期和單調增區間．著重考查了同角三角函數的基本關系、二倍角的三角函數公式和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．