Question

在平面直角坐標系內已知兩點A(-1,0)、B(1,0),若將動點P(x,y)的橫坐標保持不變，縱坐標擴大到原來的倍后得到點Q(x,y),且滿足·=1.

(Ⅰ)求動點P所在曲線C的方程；

(Ⅱ)過點B作斜率為-的直線l交曲線C于M、N兩點，且++=，試求△MNH的面積.

 

Answer 1

【答案】

（1）曲線C的方程是+ y²=1   （2）S=

【解析】(I) 設點P的坐標為（x,y）,則點Q的坐標為（x,y）.然后求出=(x+1,y), =(x-1,y). 再對·=1坐標化化簡即可。

（II）先求出直線l的方程，然后與曲線C的方程聯立，消去y，得到關于x的一元二次方程。

下面解題的關鍵是++=，得=（- x₁- x₂，- y₁- y₂），即H（-1，-）

|MN|=然后利用韋達定理求出|MN|，再利用點到直線的距離公式求出高，問題得解。

解：(Ⅰ)設點P的坐標為（x,y）,則點Q的坐標為（x,y）.   

依據題意，有=(x+1,y), =(x-1,y).              ………………2分

∵·=1，∴x²-1+2 y²=1.∴動點P所在曲線C的方程是+ y²=1 …………4分

(Ⅱ)因直線l過點B，且斜率為k=-，故有l∶y=-（x-1）………………5分

聯立方程組，消去y,得2x²-2x-1=0.        …………………7分

設M（x₁,y₁）、N（x₂,y₂），可得，于是. ……………8分

又++=，得=（- x₁- x₂，- y₁- y₂），即H（-1，-）……10分

∴|MN|=   …………………………………12分

又l: x+2y-=0，則H到直線l的距離為d=

故所求MNH三角形的面積為S=