Question

如圖,平面內的定點F到定直線l的距離為2,定點E滿足:| |=2且EF⊥l于G,點Q是直線l上一動點,點M滿足: =,點P滿足: ∥,·=0.

(1)建立適當的直角坐標系，求動點P的軌跡方程；

(2)若經過點E的直線l₁與點P的軌跡交于相異兩點A、B，令∠AFB=θ，當≤θ＜π時,求直線l₁的斜率k的取值范圍.

Answer 1

解:(1)以FG的中點O為原點，以EF所在直線為y軸，建立平面直角坐標系xOy,

設點P(x,y),則F(0,1),E(0,3),l:y=-1.

∵ =,∥,∴Q(x,-1),M(,0).

∵·=0,∴(-)×x+(-y)×(-2)=0,

即所求點P軌跡方程為x²=4y.

(2)設點A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₁≠x₂),設AF的斜率為k₁,BF的斜率為k₂,直線l₁的方程為y=kx+3,由得x²-4kx-12=0.∴x₁+x₂=4k,x₁x₂=-12

∴y₁y₂=y₁+y₂=k(x₁+x₂)+6=4k²+6.

∵=(x₁,y₁-1),=(x₂,y₂-1),

∴·=x₁x₂+(y₁-1)(y₂-1)=x₁x₂+y₁y₂-(y₁+y₂)+1=-12+9-4k²-6+1=-4k²-8.

又∵||·||=(y₁+1)(y₂+1)=y₁y₂+(y₁+y₂)+1=9+4k²+6+1=4k²+16.

Cosθ==由于≤θ＜π

∴-1＜Cosθ≤-,即－1＜-.

∴∴k²≥2.解得k≥或k≤-.

∴直線l₁斜率k的取值范圍是｛k|k≥或k≤-｝.