Question

在各項均為負數的數列{a_n}中，已知2a_n=3a_n+1，且a2a5=

8

27

，
（1）求證：{a_n}是等比數列，并求出通項公式
（2）-

16

81

是這個數列的項嗎？，如果是，是第幾項？

Answer 1

分析：（1）根據題意，由2a_n=3a_n+1，可得

an+1

an

=

2

3

，由等比數列的定義，可得{a_n}是等比數列，同時可得{a_n}的公比，又由a2a5=

8

27

，可得a₁的值，由等比數列的通項公式，可得答案，
（2）由（1）的結論，令-

16

81

=-(

2

3

)n-2，解可得n=6，為整數，可得結論．

解答：解：（1）∵2a_n=3a_n+1，
∴

an+1

an

=

2

3

，故{a_n}是等比數列，且其公比為

2

3

，
又a1qa1q4=

8

27

得a12=

9

4

，(a1＜0)即a1=-

3

2

所以，an=(-

3

2

)(

2

3

)n-1=-(

2

3

)n-2；
（2）由（1）的結論，令-

16

81

=-(

2

3

)n-2
得 (

2

3

)4=(

2

3

)n-2
由指數函數性質知4=n-2，即n=6，為正整數，
則-

16

81

是該數列的第6項．

點評：本題考查等比數列的判定與性質，解（1）時，注意根據題干條件“各項均為負數”，對求得的a₁進行取舍．