Question

給定雙曲線x²-=1,過B(1,1)能否作直線m,使m與所給雙曲線交于Q₁、Q₂,且B為線段Q₁Q₂的中點?這樣的直線m如果存在,求出它的方程;如果不存在,請說明理由.

Answer 1

當x₁≠x₂時,==2,

這時直線m的方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.

當x₁=x₂時,符合題意的直線不存在.

將y=2x-1代入雙曲線方程2x²-4x-3=0,而該方程無實數解.

綜上,知滿足題設條件的直線不存在.

解析:

設Q₁、Q₂的坐標分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂),則

①-②得2(x₁+x₂)(x₁-x₂)-(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0,

∵x₁+x₂=2,y₁+y₂=2,

∴4(x₁-x₂)-2(y₁-y₂)=0.

當x₁≠x₂時,==2,

這時直線m的方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.

當x₁=x₂時,符合題意的直線不存在.

將y=2x-1代入雙曲線方程2x²-4x-3=0,而該方程無實數解.

綜上,知滿足題設條件的直線不存在.