Question

如圖所示，在四棱錐P­―ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F.

                                 

   （1）證明：PA∥平面EDB；

   （2）證明：PB⊥平面EFD；

   （3）求DB與平面PBC所成的角.

Answer 1

（1）證明：連結AC交BD于O，連結OE.

       ∵四邊形ABCD是正方形，

∴O為AC的中點，              

∵E為PC的中點，

∴OE∥PA，

∴PA∥平面EDB.

   （2）證明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC⊥CD，∵BC⊥平面PCD，∵PD=DC.

∴DE⊥PC，∵DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB，∵EF⊥PB，PB⊥平面EFD.

   （3）∵DE⊥平面PBC，∠DBE就是DB與平面PBC所成的角.

設PD=DC=a，則：

在Rt△BDE中，，

即：DB與平面PBC所成的角為30°.