Question

某著名景區新近開發一種旅游紀念品，每件產品的成本為30元，并且每賣出一件產品需向地方稅務部門上交3元的稅收．設每件紀念品的售價為x元（30≤x≤40），根據市場調查，日銷售量與e^x（e為自然對數的底數）成反比例．已知每件紀念品的售價為40元時，銷售量為10件．
（1）求該景區的日利潤L（x）元與每件紀念品的售價x元的函數關系式；
（2）當每件紀念品的售價為多少元時，該景區的日利潤L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer 1

解：（1）設日銷售量為
∵每件紀念品的售價為40元時，銷售量為10件，
∴，
∴k=10e⁴⁰，則日售量為 件
∴日利潤L（x）=（x﹣30﹣3）=（x﹣33）（30≤x≤40），
（2）求導函數，可得L′（x）=（34﹣x）
令L′（x）＞0，可得30≤x＜34；
令L′（x）＜0，可得34＜x≤40
∴函數在[30，34）上，函數單調增，在（34，40]上，函數單調減
∴x=34時，L（x）取極大值，且為最大值，最大值為10e⁶．