Question

（2012•天津模擬）已知曲線C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，x≥0)和曲線C2：x2+y2=r2(x≥0)都過點A（0，-1），且曲線C₁所在的圓錐曲線的離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求曲線C₁和曲線C₂的方程；
（Ⅱ）設點B，C分別在曲線C₁，C₂上，k₁，k₂分別為直線AB，AC的斜率，當k₂=4k₁時，問直線BC是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知曲線C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，x≥0)和曲線C2：x2+y2=r2(x≥0)都過點A（0，-1），且曲線C₁所在的圓錐曲線的離心率為

3

2

，可確定相應幾何量，從而可得曲線C₁和曲線C₂的方程；
（Ⅱ）將直線AB，AC的方程分別與橢圓、圓聯立，進而可求點B，C的坐標，從而可得直線BC的方程，進而可知過定點．

解答：解：（Ⅰ）由已知曲線C₁和曲線C₂都過點A（0，-1），得b²=1，r²=1．                        …（2分）
∵曲線C₁所在的圓錐曲線的離心率為

3

2

．
∴a²=4，
∴曲線C₁的方程為

x2

4

+y2=1（x≥0）．                          …（3分）
曲線C₂的方程為x²+y²=1（x≥0）．                               …（4分）
（Ⅱ）將y=k₁x-1代入

x2

4

+y2=1，得(1+4

k

2 1

)x2-8k1x=0．…（5分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁=0，x2=

8k1

4 k 2 1 +1

，y2=k1x2-1=

4 k 2 1 -1

4 k 2 1 +1

．
所以B(

8k1

4 k 2 1 +1

，

4 k 2 1 -1

4 k 2 1 +1

)．                                         …（7分）
將y=k₂x-1代入x²+y²=1，得(1+

k

2 2

)x2-2k2x=0．
設C（x₃，y₃），則x3=

2k2

k 2 2 +1

，y3=k2x3-1=

k 2 2 -1

k 2 2 +1

，
所以C(

2k1

k 2 2 +1

，

k 2 2 -1

k 2 2 +1

)．                                           …（9分）
因為k₂=4k₁，所以C(

8k1

16 k 2 1 +1

，

16 k 2 1 -1

16 k 2 1 +1

)
則直線BC的斜率kBC=

16 k 2 1 -1 16 k 2 1 +1 - 4 k 2 1 -1 4 k 2 1 +1

8k1 16 k 2 1 +1 - 8k1 4 k 2 1 +1

=-

1

4k1

，…（11分）
所以直線BC的方程為：y-

4 k 2 1 -1

4 k 2 1 +1

=-

1

4k1

(x-

8k1

4 k 2 1 +1

)，即y=-

1

4k1

x+1．…（12分）
故BC過定點（0，1）．                                              …（13分）

點評：本題考查曲線軌跡方程的求解，考查直線恒過定點，解題的關鍵是確定點B、C的坐標，求出直線BC的方程．