Question

設函數
（1）當時，求的最大值；
（2）令，以其圖象上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，求實數的取值范圍；
（3）當時，方程有唯一實數解，求正數的值．

Answer 1

（1）0；（2）；（3）1

試題分析：（1）當時，     1分
解得或（舍去）                 2分
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減                  3分
所以的最大值為                                4分
(2)    6分
由恒成立得恒成立         7分
因為，等號當且僅當時成立            8分
所以                                                   9分
（3）時，方程即
設，解
得(<0舍去)，
在單調遞減，在單調遞增，最小值為      11分
因為有唯一實數解，有唯一零點，所以    12分
由得，
因為單調遞增，且，所以           13分
從而                                                       14分
點評：此類問題是在知識的交匯點處命題，將函數、導數、不等式、方程的知識融合在一起進行考查，重點考查了利用導數研究函數的極值與最值等知識