Question

（13分）已知拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）當(dāng)k=1時，求線段AB的長；
（II）當(dāng)k在R內(nèi)變化時，求線段AB中點(diǎn)C的軌跡方程；
（III）設(shè)是該拋物線的準(zhǔn)線．對于任意實(shí)數(shù)k，上是否存在點(diǎn)D，使得？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如不存在，說明理由． 

Answer 1

解：設(shè)點(diǎn)、分別為、，由題意得
，
∴，     　　　　　　　　　　　 　　　　　　１分
∴，．　　　　　　　　　　　　　　 　 2分
∴，
．           　　　　　　　　　　　　 　　３分
（Ⅰ）當(dāng)時，，，，．
∴   　　　　　　　　　　　　　　 4分

．   　　　　　　　　　　　６分
（Ⅱ）設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則當(dāng)變化時，
， 　　　　　　　　　　　　　            7分
消去，得．
即點(diǎn)的軌跡方程為．　　　　　　　　　　　　　　　９分
（Ⅲ）拋物線的準(zhǔn)線的方程為．　　　　　　　　 10分
假設(shè)在上存在一點(diǎn)，使，則
，．　　　　　　　　　12分
令，
得　　　①
將，，，代入①式，整理得，即，
∴．
∴對于任意實(shí)數(shù)，在上存在點(diǎn)，使得．         13分

略