Question

已知

a

，

b

是兩個相互垂直的單位向量，|

c

|=13，

c

•

a

=3，

c

•

b

=4，則對于任意t₁、t₂∈R，當|

c

-t1

a

-t2

b

|取最小值時，函數f(x)=t1sinx+t2cosx(0≤x≤

π

2

)的值域是

[3，5]

．

Answer 1

分析：將模平方，利用配方法，可得當且僅當t₁=3，t₂=4時，|

c

-t1

a

-t2

b

|取得最小值，再用輔助角公式，即可求得結論．

解答：解：|

c

-t1

a

-t2

b

|²=

c

2+(t1

a

)2+(t2

b

)2-2

c

•

a

t1-2

c

•

b

t2+2t1t2

a

•

b

∵

a

，

b

是兩個相互垂直的單位向量，|

c

|=13，

c

•

a

=3，

c

•

b

=4，
∴|

c

-t1

a

-t2

b

|²=169+t₁²+t₂²-6t₁-8t₂=（t₁-3）²+（t₂-4）²+144
由此可得，當且僅當t₁=3，t₂=4時，|

c

-t1

a

-t2

b

|²最小值為144
∴f(x)=3sinx+4cosx(0≤x≤

π

2

)
∴f（x）=5sin（x+α），其中cosα=

3

5

，sinα=

4

5

∵0≤x≤

π

2

，∴3≤5sin（x+α）≤5，
∴函數的值域是[3，5]
故答案為：[3，5]

點評：本題考查向量模的計算，考查配方法的運用，考查三角函數求值，屬于中檔題．