Question

已知等差數列{a_n}的首項a₁=2，公差d≠0，且第一項、第三項、第十一項分別是等比數列{b_n}的第一項、第二項、第三項．
（I）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（II）設數列{c_n}對任意的n∈N^*均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1，求數列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（I）根據等差數列的通項公式分別表示出第三項和第十一項，進而根據等差中項的性質建立等式求得d．進而根據等差數列的性質求得數列的通項公式．進而求得等差數列數列的第三項和第十一項，即數列{b_n}的第一項、第二項、第三項，進而求得首項和公比，則數列的通項公式可得．
（II）把a_n和a_n+1相減求得

cn

bn

=3，進而根據（1）中的b_n求得n≥2時的c_n，進而利用c₁=b₁×a₂求得c₁，進而綜合可得數列{c_n}的通項公式，利用等比數列的求和公式求得前n項的和．

解答：解：（I）由已知（2+2d）²=2（2+10d）
∴d=3或d=0（舍）
數列{a_n}的通項公式a_n=3n-1；
∴b₂=a₃=8，b₃=a₁₁=32
∴公比為

8

2

=4，首項為2
∴數列{b_n}的通項公式b_n=2ⁿ，
（II）由

c1

b1

+

c2

b2

++

cn

bn

=an+1，

c1

b1

+

c2

b2

++

cn-1

bn-1

，
=an?

cn

bn

=an+1-an=3(n≥2）
∴c_n=3×2^2n-1（n≥2）
又c₁=b₁×a₂=10
∴cn=

10，(n=1) 3×22n-1，(n≥2)

所以數列{c_n}的前n項和Sn=10+

24(1-4n-1)

1-4

=2+22n+1

點評：本題主要考查了數列的求和問題及數列的通項公式．考查了學生演繹推理以及綜合分析的能力．