Question

已知函數f（x）=

sinπx

(x2+1)(x2-2x+2)

，對于下列命題：
①函數f（x）是奇函數；
②直線x=

1

2

是函數f（x）圖象的對稱軸；
③對任意x∈R，f（x）滿足|f（x）|＜1；
④對任意x∈（-1，0），函數f（x）的導數滿足f′（x）＜0．
其中正確命題為

 

（寫出命題序號即可）．

Answer 1

分析：①根據函數的解析式求得函數的定義域，根據奇函數的定義，驗證f（-x）=-f（x），可知該命題的正誤；
②根據軸對稱圖形的定義，在函數f（x）圖象上任取點P（x，y），求出點P關于直線x=

1

2

的對稱點是P′（1-x，y），驗證點P′在函數的圖象上即可；
③根據二次函數的最值和不等式的基本性質，可以求出x²+1≥1；x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，注意等號成立的條件，從而求得

1

(x2+1)(x2-2x+2)

的范圍，根據正弦函數的有界性，從而求得結論正確；
④對函數求導，求出f′（-

1

2

）＜0，

lim

x→0

πcosπx[(x2+1)(x2-2x+2)]-sinπx[2x(x2-2x+2)+(x2+1)(2x-2)]

[(x2+1)(x2-2x+2)] 2

=2π＞0，從而可知?x₀∈（-1，0），函數f（x）的導數滿足f′（x₀）=0．可知該命題錯誤．

解答：解：①函數的定義域為R，f（-x）=

sin(-πx)

[(-x)2+1][(-x)2-2(-x)+2]

=

-sinπx

(x2+1)(x2+2x+2)

≠-f（x）
∴函數f（x）不是奇函數故①錯；
②在函數f（x）圖象上任取點P（x，y），則點P關于直線x=

1

2

的對稱點是P′（1-x，y）
而f（1-x）=

sinπ(1-x)

[(1-x)2+1][(1-x)2-2(1-x)+2]

=

sinπx

(x2+1)(x2-2x+2)

=y
∴直線x=

1

2

是函數f（x）圖象的對稱軸；故②正確；
③∵x²+1≥1，當x=0時等號成立；x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，當x=1時等號成立，
∴（x²+1）[（x-1）²+1]＞1，∴0＜

1

(x2+1)(x2-2x+2)

＜1，
而|sinπx|≤1，∴

|sinπx|

(x2+1)(x2-2x+2)

＜1，即|f（x）|＜1；故③正確；
④f′（x）=

πcosπx[(x2+1)(x2-2x+2)]-sinπx[2x(x2-2x+2)+( x2+1)(2x-2)]

[(x2+1)(x2-2x+2)] 2

f′（-

1

2

）=

-( 1 4 +1+2)+( 1 4 +1)(-1-2)

[( 1 4 +1)( 1 4 +1+2)]2

＜0，
而

lim

x→0

f′(x)=

πcosπx[(x2+1)(x2-2x+2)]-sinπx[2x(x2-2x+2)+(x2+1)(2x-2)]

[(x2+1)(x2-2x+2)] 2

=2π＞0，
?x₀∈（-1，0），函數f（x）的導數滿足f′（x₀）=0．故④錯
故正確命題為②③
故答案為：②③．

點評：本題考查函數的奇偶性的定義和對稱性以及函數的值域的求法，導數的除法運算法則等知識，綜合性強，考查靈活應用知識分析解決問題的能力，和運算能力，其中命題④計算量大，增加了試題的難度．屬中檔題．