Question

△ABC為一個等腰三角形形狀的空地,腰AC的長為3(百米),底AB的長為4(百米).現決定在空地內筑一條筆直的小路EF(寬度不計),將該空地分成一個四邊形和一個三角形,設分成的四邊形和三角形的周長相等,面積分別為S₁和S₂.
(1)若小路一端E為AC的中點,求此時小路的長度;
(2)若小路的端點E、F兩點分別在兩腰上,求的最小值.

Answer 1

(1) 百米     (2)

解:(1)∵E為AC中點時,
則AE=EC=,
∵+3<+4,
∴F不在BC上.
故F在AB上,
可得AF=,
在三角形ABC中,cosA=.
在三角形AEF中,EF²=AE²+AF²-2AE·AFcosA=,
∴EF=.
即小路一端E為AC中點時小路的長度為百米.
(2)若小路的端點E、F兩點分別在兩腰上,如圖所示,

設CE=x,CF=y,
則x+y=5,
==-1
=-1=-1≥-1
=,
當x=y=時取等號.
答:最小值為.