Question

如圖所示，已知六棱錐P-ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六邊形，點P在底面的投影是正六邊形的中心，底面邊長為2cm，側(cè)棱長為3cm，求六棱錐P-ABCDEF的表面積和體積．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，過O作邊AB的垂線，垂足為Q，連結(jié)PQ，則可得六棱錐的斜高PQ，通過正六棱錐的側(cè)棱，求出棱錐的高，即可求出正六棱錐的表面積與體積．

解答：解：P-ABCDEF為正六棱錐，O是底面正六邊形ABCDEF的中心．
連接OA、OB、OP，過O作邊AB的垂線，垂足為Q．連結(jié)PQ，
∵ABCDEF為正六邊形，∴△AOB為等邊三角形．
∴OA=OB=AB=2，又∵OQ⊥AB，∴Q是AB中點．
∴AQ=BQ=1，側(cè)棱長為3cm，
∴斜高PQ=

32-12

=2

2

，
∵OP⊥面ABCDEF，
∴OP是棱錐的高，PO=

32-22

=

5

．
∴該棱錐的表面積為：S=S_底+S_側(cè)=6×

3

4

×22+6×

1

2

×2×2

2

=6

3

+12

2

．
正六棱錐的體積為V=

1

3

×6

3

×

5

=2

15

．

點評：本題以正六棱錐為載體，考查棱錐的底面積，側(cè)面積與體積的關(guān)系，考查計算能力．