Question

（2011•浙江模擬）設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，A、B分別為其左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，△BF₁F₂是面積為

3

的正三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)右焦點(diǎn)F₂的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，直線AM、AN分別與已知直線x=4交于點(diǎn)P和Q，試探究以線段PQ為直徑的圓與直線l的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由△BF₁F₂是面積為

3

的正三角形，知

3

4

(2c) 2=

3

，c=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l方程為：x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

3x2+4y2=12 x=my+1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
再由韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解．

解答：解：（Ⅰ）∵△BF₁F₂是面積為

3

的正三角形，
∴

3

4

(2c) 2=

3

，c=1，
b=

3

2

×2c，b=

3

，
∴a²=4，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）根據(jù)題意可知，直線l斜率不為0，
設(shè)直線l方程為：x=my+1，
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

3x2+4y2=12 x=my+1

，得
（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴

y1+y2= -6m 3m2+4 y1y2= -9 3m2+4

，
設(shè)點(diǎn)P（4，y_P），Q（4，y_Q），
∵A，M，P三點(diǎn)共線，由

AM

=(my1+3，y1)，

AP

=(6，yP)得，yP=

6y1

my1+3

同理，yQ=

6y2

my2+3

…..（10分）
線段PQ的中點(diǎn)D(4，

yP+yQ

2

)即（4，-3m），
則D到直線l的距離為d=3

m2+1

…．（12分）
以PQ為直徑的圓的半徑 r=

1

2

|yP-yQ|=|

3y1

my1+3

-

3y2

my2+3

|=|

9(y1-y2)

(my1+3)(my2+3)

||

9 (y1+y2)2-4y1y2

m2y1y2+3m(y1+y2)+9

|=|

9 ( -6m 3m2+4 )2+ 36 3m2+4

-9m2 3m2+4 + -18m2 3m2+4 +9

|=3

m2+1

…..（14分）

因?yàn)閐=r，所以，以PQ為直徑的圓與直線l相切．…．（15分）

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過(guò)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過(guò)向量與幾何問(wèn)題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，探究研究問(wèn)題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．本題綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．