Question

某地區(qū)原有森林木材存量為a，且每年增長(zhǎng)率為25％，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年底要砍伐的木材量為b，設(shè)a_n為n年后該地區(qū)森林木材存量．

(1)求a_n的表達(dá)式；

(2)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材量應(yīng)不少于a，如果b＝a，那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過(guò)幾年？(取lg2＝0.30)．

Answer 1

答案：
解析：

思路解析：(1)依題意，得a1＝a(1＋)－b＝a－b， 　　a2＝a1－b＝(a－b)－b＝()2a－(＋1)b， 　　a3＝a2－b＝()3a－[()2＋＋1]b， 　　由此猜測(cè)： 　　an＝()na－[()n－1＋()n－2＋…＋＋1]b 　　＝()na－4[()n－1]b(n∈N+)． 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　　①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a－b，猜測(cè)成立． 　　②假設(shè)n＝k時(shí)，猜測(cè)成立． 　　即ak＝()ka－4[()k－1]b成立． 　　那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 　　ak+1＝ak－b＝{()ka－4[()k－1]b}－b＝()k+1a－4[()k+1－1]b， 　　即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜測(cè)成立． 　　由①②知，對(duì)任意的自然數(shù)n猜測(cè)成立． 　　(2)當(dāng)b＝a時(shí)，若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失時(shí)，則森林木材存量必須小于a， 　　∴()na－4[()n－1]×a＜a， 　　整理，得()n＞5， 　　兩邊取對(duì)數(shù)得：nlg＞lg5， 　　∴n＞＝7． 　　∴經(jīng)過(guò)8年該地區(qū)就開(kāi)始水土流失．