Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＞π），在同一周期內，當x=

π

12

時，f（x）取得最大值3；當x=

7

12

π時，f（x）取得最小值-3．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞減區間；
（Ⅲ）若x∈[-

π

3

，

π

6

]時，函數h（x）=2f（x）+1-m有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得A=3，根據周期T=2（

7π

12

-

π

12

）=

2π

ω

，求得ω=2．由2×

π

12

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z，以及-π＜φ＜π，可得 φ的值，從而求得函數的解析式．
（Ⅱ）由 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數的減區間．
（Ⅲ）函數y=sin（2x+

π

3

）的圖象和直線y=

m-1

6

在[-

π

3

，

π

6

]上有2個交點，再由 2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，y=sin（2x+

π

3

）的圖象可得

m-1

6

∈[

3

2

，1），由此求得實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得A=3，周期T=2（

7π

12

-

π

12

 ）=

2π

ω

，∴ω=2．
由2×

π

12

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z，以及-π＜φ＜π，可得 φ=

π

3

，故函數f（x）=3sin（2x+

π

3

）．
（Ⅱ）由 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
 故函數的減區間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈z．
（Ⅲ）∵x∈[-

π

3

，

π

6

]時，函數h（x）=2f（x）+1-m有兩個零點，故 sin（2x+

π

3

）=

m-1

6

 有2個實數根．
即函數y=sin（2x+

π

3

）的圖象和直線y=

m-1

6

有2個交點．
再由 2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，結合函數y=sin（2x+

π

3

）的圖象可得 

m-1

6

∈[

3

2

，1），解得 m∈[3

3

+1，7），
即 實數m的取值范圍是[3

3

+1，7）．

點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，由函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，正弦函數的定義域和值域，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．