Question

設定義在R上的函數f(x)=

1 |x+3|     x≠-3 1           x=-3

，若關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3個不同實數解x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則下列說法中錯誤的是（　　）

A．x12+x22+x32=29

B．1+a+b=0

C．x₁+x₃=-6

D．a²-4b=0

Answer 1

分析：關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3個解，則必然含有x=1這樣一個解，另外2個則在分段函數的另一段里面，剛好它是個絕對值函數，可以提供2個不同自變量時為同一值．既然含有x=1的解，此時f（1）=1，我們知道另外2個值也是1的肯定也能滿足方程，所以關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3個不同實數解時，f（x）=1，從而可得結論．

解答：解：分段函數的圖象如圖所示
由圖可知，只有當f（x）=1時，它有三個根．
∵

1

|x+3|

=1時，x=-2或-4．
∴關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有且只有3個不同實數解時，
解分別是-4，-3，-2，且x₁=-4，x₂=-3，x₃=-2，
∴x12+x22+x32=16+9+4=29，x₁+x₃=-6，
∵f（x）=1，∴1+a+b=0
∵a²-4b=a²+4a+4=（a+2）²≥0
∴D不正確
故選D．

點評：本題主要考查函數的零點與方程根的關系、函數的圖象等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．