Question

（本小題滿分14分）

如圖，ADB為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變。

   （I）建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程；

   （II）過點B的直線l與曲線C交于M、N兩點，與OD所在直線交于E點，

        為定值。

Answer 1

解：（Ⅰ）以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸， O為原點，建立平面直角坐標系，∵動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變．且點Q在曲線C上,

∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4．

∴曲線C是為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓．

設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=,c=2,b=1．

∴曲線C的方程為+y²=1      6分

（Ⅱ）證法1：設點的坐標分別為，

易知點的坐標為．且點B在橢圓C內,故過點B的直線l必與橢圓C相交．

 ∵，∴．

∴ ，．       10分

將M點坐標代入到橢圓方程中得：，

去分母整理，得．  11分

同理，由可得：

．    12分

∴ ，是方程的兩個根，

∴ ．   14分

（Ⅱ）證法2：設點的坐標分別為，

易知點的坐標為．且點B在橢圓C內,故過點B的直線l必與橢圓C相交．

顯然直線  的斜率存在，設直線 的斜率為 ，則直線  的方程是 ．

將直線  的方程代入到橢圓  的方程中，消去  并整理得

．   10分

∴ ，．   11分

又 ∵， 則．∴，

同理，由，

∴． 12分

∴．       14分