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設函數f(x)=
e-x+1+a，(x≤1)
x2+bx-3
x-1
(x＞1)
在x=1處連續，則
lim
x→∞
an-3bn
an+bn
=（　　）
分析：由函數f(x)=
e-x+1+a，(x≤1)
x2+bx-3
x-1
(x＞1)
在x=1處連續可求得b=2，a=3，代入即可求得
lim
x→∞
an-3bn
an+bn
的值．
解答：解：∵函數f(x)=
e-x+1+a，(x≤1)
x2+bx-3
x-1
(x＞1)
在x=1處連續，
∴
lim
x→1-
e-x+1+a=a，x=1是方程x2+bx-3=0的根，
∴b=2，
又
lim
x→1+
x2+2x-3
x-1
=
lim
x→1+
( x-1)(x+3)
x-1
=4=
lim
x→1-
e-x+1+a=1+a，
∴a=3．
∴
lim
x→∞
an-3bn
an+bn
=
lim
x→∞
3n-3•2n
3n+2n
=
lim
x→∞
1 -3•(
2
3
)n
1+(
2
3
)n
=1．
故選A．
點評：本題考查函數的連續性及極限的運算，難點在于對函數在x=1處連續的理解與應用（求a、b的值），屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=alnx+
ax22
-2x，a∈R．
（1）當a=1時，試求函數f（x）在區間[1，e]上的最大值；
（2）求函數f（x）的單調區間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=x2+
1
4
，g(x)=
1
2
ln(2ex)，（其中e為自然底數）；
（Ⅰ）求y=f（x）-g（x）（x＞0）的最小值；
（Ⅱ）探究是否存在一次函數h（x）=kx+b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）對一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函數的表達式，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）數列{an}中，a1=1，an=g（an-1）（n≥2），求證：
n
k=1
(ak-ak+1)•ak+1＜
3
8
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•河南模擬）設函數f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1．
（Ⅰ）當a=1時，過原點的直線與函數f（x）的圖象相切于點P，求點P的坐標；
（Ⅱ）當0＜a＜
1
2
時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）當a=
1
3
時，設函數g(x)=x2-2bx-
5
12
，若對于?x1∈（0，e]，?x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，求實數b的取值范圍．（e是自然對數的底，e＜
3
+1）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=
x2+1，x≤1
lnx，x＞1
，則f(f(e))=（　　）

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