Question

若非零函數f（x）對任意實數x，y均有f（x）•f（y）=f（x+y），且當x＜0時f（x）＞1．
（1）求證：f（x）＞0；
（2）求證：f（x）為R上的減函數；
（3）當f(4)=

1

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時，對a∈[-1，1]時恒有f(x2-2ax+2)≤

1

4

，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據抽象函數，利用賦值法證明f（x）＞0；
（2）根據函數單調性的定義證明f（x）為R上的減函數；
（3）利用函數單調性的性質，解不等式即可．

解答：解：（1）證法一：f（0）•f（x）=f（x），
即f（x）[f（0）-1]=0，
又f（x）≠0，
∴f（0）=1
當x＜0時，f（x）＞1，
則-x＞0，
∴f（x）•f（-x）=f（0）=1，
則f(-x)=

1

f(x)

∈(0，1)．
故對于x∈R恒有f（x）＞0．
證法二：f(x)=f(

x

2

+

x

2

)=[f(

x

2

)]2≥0，
∵f（x）為非零函數，
∴f（x）＞0
（2）令x₁＞x₂且x₁，x₂∈R，
有f（x₁）•f（x₂-x₁）=f（x₂），
又x₂-x₁＜0，
即f（x₂-x₁）＞1
故

f(x2)

f(x1)

=f(x2-x1)＞1，
又f（x）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）為R上的減函數．
（3）f(4)=

1

16

=f(2+2)=f2(2)⇒故f(2)=

1

4

，
則原不等式可變形為f（x²-2ax+2）≤f（2）
依題意有  x²-2ax≥0對a∈[-1，1]恒成立，
∴

x2-2x≥0 x2+2x≥0

⇒x≥2或x≤-2或x=0
故實數x的取值范圍為（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

點評：本題主要考查抽象函數的應用，以及函數單調性的定義，以及利用函數的單調性解不等式，考查學生的運算能力．