Question

選做題（請考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則按做的第一題評閱計分）
（1）（極坐標與參數方程）在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為

x=- 2 +rcosθ y=- 2 +rsinθ

（θ為參數，r＞0）．以O為極點，x軸正半軸為極軸，并取相同的單位長度建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin(θ+

π

4

)=1．當圓C上的點到直線l的最大距離為4時，圓的半徑r=

1

．
（2）（不等式）對于任意實數x，不等式|2x+m|+|x-1|≥a恒成立時，若實數a的最大值為3，則實數m的值為

4或-8

．

Answer 1

分析：（1）將直線和圓的方程化為直角坐標方程，利用直線和圓的位置關系求解．
（2）要使不等式|2x+m|+|x-1|≥a恒成立，需f（x）=|2x+m|+|x-1|的最小值大于或等于a，問題轉化為求f（x）的最小值，從而解決問題．

解答：解：（1）圓的直角坐標方程為（x+

2

）²+（y+

2

）²=r²，
圓心的直角坐標（-

2

，-

2

）．
直線l的極坐標方程為ρsin（θ+

π

4

）=1即為x+y-

2

=0，
圓心O（-

2

，-

2

）到直線的距離d=

|- 2 - 2 - 2 |

2

=3．
圓O上的點到直線的最大距離為 3+r=4，解得r=1．
（2）解：（1）設f（x）=|2x+m|+|x-1|=2|x+

m

2

|+|x-1|，
當

m

2

≥-1時，
則有f（x）=

3x+m-1，x＞1 x+m+1．- m 2 ≤x≤1 -3x-m+1，x＜- m 2

，
其圖象如圖所示，當x=-

m

2

時，取得最小值f（-

m

2

）=

m

2

+1；
當

m

2

＜-1時，
則有f（x）=

3x+m-1，x＞- m 2 -x-m-1.1≤x≤- m 2 -3x-m+1，x＜1

，
當x=-

m

2

時，取得最小值f（-

m

2

）=-

m

2

-1；
由題意，若實數a的最大值為3，則

m

2

+1=3或-

m

2

-1=3，
∴m=4或m=-8．
∴實數m的值為 4或-8
故答案為：1；4或-8．

點評：本題考查極坐標、參數方程與普通方程互化、絕對值不等式的解法，以及恒成立問題，體現了等價轉化的數學思想．