Question

某企業生產某種機器的固定成本為0.5萬元，每生產1百臺機器的可變成本為0.25萬元．已知市場對此產品的年需求量為5百臺，銷售收入R(單位：萬元)與產品的年產量x(單位：百臺)的函數關系式為R(x)＝5x－0.5x²(0≤x≤5)．求：

(1)該產品的年利潤與年產量之間的函數關系式f(x)；

(提示：－0.5x²＋4.75x－0.5≥04.75－≤x≤4.75＋)

(2)年產量為多少時，該企業的年利潤最大？

(3)年產量為多少時，該企業不虧本？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)當0≤x≤5時，產品能全部售出， 　　則年利潤為f(x)＝5x－0.5x2－0.25x－0.5＝－0.5x2＋4.75x－0.5． 　　當x＞5時，只能銷售產品5百臺， 　　則年利潤為f(x)＝12.5－0.25x－0.5＝－0.25x＋12． 　　綜上可知，該產品的年利潤與年產量之間的函數關系式為f(x)＝ 　　(2)當0≤x≤5時，f(x)＝－0.5(x－4.75)2＋10.78125， 　　因為x＝4.75∈[0，5]，所以，當0≤x≤5時，f(x)max＝10.78125． 　　當x＞5時，函數f(x)單調遞減，則f(x)＜－0.25×5＋12＝10.75＜10.78125． 　　綜上可知，當年產量為4.75百臺，即475臺時，該企業的年利潤最大． 　　(3)若使企業不虧本，則f(x)≥0， 　　所以或 　　解得4.75－≤x≤5，或5＜x≤48， 　　其中4.75－≈0.106． 　　所以，年產量在11臺到4800臺之間時，該企業不虧本． 　　點評：解本題時，應弄清楚固定成本、可變成本、年利潤、年產量、不虧本等關鍵詞及函數關系式R(x)＝5x－0.5x2(0≤x≤5)的含義．其中，固定成本與年產量無關，可變成本與年產量有關，年利潤＝年銷售收入－固定成本－可變成本，不虧本就是利潤不小于0．理解題中關鍵詞及函數關系式的含義后，就可以建立函數模型，結合函數知識求最值．另外，要特別注意分類討論思想的應用．