Question

如圖，已知四邊形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M, N分別是AB, PC的中點.
(1)求證：MN∥平面PAD；
(2)求證：MN⊥DC；

Answer 1

（1）見解析（2）見解析.

試題分析：（1）令E為PD的中點，連接AE，NE，根據三角形中位線定理，及中點的定義，我們易判斷MN∥AE，結合線面平行的判定定理，即可得到MN∥平面PAD；
（2）根據已知中，四邊形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，我們易結合線面垂直的判定定理，得到DC⊥平面PAD，進而得到DC⊥AE，由（1）中AE∥MN，根據兩條平行線與同一條直線的夾角相等，即可得到結論．
試題解析：（1）設PD的中點為E，連AE, NE，則易得四邊形AMNE是平行四邊形，則 MN∥AE ，
，所以  MN∥平面PAD   
（2）∵PA⊥平面ABCD ， CD，∴PA⊥CD   
又AD⊥CD , PA∩DA=A，∴ CD平面PAD ，∵
∴CD⊥AE  ∵MN∥AE   ∴MN⊥DC