Question

如圖X15－3所示，已知圓C1：x2＋(y－1)2＝4和拋物線C2：y＝x2－1，過坐標原點O的直線與C2相交于點A，B，定點M的坐標為(0，－1)，直線MA，MB分別與C1相交于點D，E.

(1)求證：MA⊥MB；

(2)記△MAB，△MDE的面積分別為S1，S2，若＝λ，求λ的取值范圍．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)證明：設直線AB的方程為y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則?x2－kx－1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－1.

又·＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－k2－1＋k2＋1＝0，

∴MA⊥MB.

(2)設直線MA的方程為y＝k1x－1，MB的方程為y＝k2x－1，k1k2＝－1.

解得或

∴A(k1，－1)，同理可得B(k2，－1)，

∴S1＝|MA||MB|＝|k1k2|.

又解得或

∴D，同理可得E.

∴S2＝|MD||ME|＝.

＝λ＝＝≥.故λ的取值范圍是.