Question

已知關于x的方程x²＋(m＋2)x＋m＝0．

(1)若該方程有一個正根和一個負根，且負根的絕對值較大，求實數m的取值范圍．

(2)是否存在實數m，使方程的一個根在區間(0，1)內，另一個根在區間(3，4)內？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：令f(x)＝x²＋(m＋2)x＋m，其圖象的對稱軸為x＝－．

　　(1)因為方程x²＋(m＋2)x＋m＝0有兩個根，所以函數f(x)＝x²＋(m＋2)·x＋m有兩個零點，記為x₁，x₂．由題意，不妨設x₁＞0，x₂＜0，且|x₁|＜|x₂|，函數f(x)的圖象如圖所示，則所以，實數m的取值范圍是(－2，0)．

　　(2)假設存在實數m，使方程的一個根在區間(0，1)內，另一個根在區間(3，4)內，即函數f(x)＝x²＋(m＋2)x＋m的兩個零點分別在區間(0，1)，(3，4)內，結合函數圖象，可得所以不存在這樣的實數m．