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已知橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1，直線l過點M（m，0）．
（Ⅰ）若直線l交y軸于點N，當m=-1時，MN中點恰在橢圓C上，求直線l的方程；
（Ⅱ）如圖，若直線l交橢圓C于A，B兩點，當m=-4時，在x軸上是否存在點p，使得△PAB為等邊三角形？若存在，求出點p坐標；若不存在，請說明理由．
（Ⅰ）設點N（0，n），則MN的中點為（-
1
2
，
n
2
），
∴
(-
1
2
)2
4
+
(
n
2
)2
3
=1，解得n=±
3
2
5
，
所以直線l的方程為：y=±
3
2
5
（x+1）．
（Ⅱ）假設在x軸上存在點P，使得△PAB為等邊三角形．
設直線l為x=ty-4，A（x1，y1），B（x2，y2），
則
x=ty-4
3x2+4y2=12
，∴（3t2+4）y2-24ty+36=0，
∴y1+y2=
24t
3t2+4
，y1y2=
36
3t2+4
，△=144（t2-4）＞0，
∴AB中點為（
-16
3t2+4
，
12t
3t2+4
），
∴AB的中垂線為：y-
12t
3t2+4
=-t（x+
16
3t2+4
），
∴點P為（-
4
3t2+4
，0），∴P到直線l的距離d=
|
2t2+12
3t2+4
|
t2+1
=
12
t2+1
3t2+4
，
∵|AB|=
12
t2-4
3t2+4
1+t2
，
∴
12
t2+1
3t2+4
=
3
2
•
12
t2-4
3t2+4
1+t2
，
∴t=±
4
3
3
，
∴存在點P為（-
1
5
，0）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點P是圓F1：(x+
3
)2+y2=16上任意一點，點F2與點F1關于原點對稱．線段PF2的中垂線與PF1交于M點．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）設軌跡C與x軸的兩個左右交點分別為A，B，點K是軌跡C上異于A，B的任意一點，KH⊥x軸，H為垂足，延長HK到點Q使得HK=KQ，連接AQ延長交過B且垂直于x軸的直線l于點D，N為DB的中點．試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓方程為x2+
y2
4
=1，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，點N的坐標為(
1
2
，
1
2
)，當l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求：
（1）動點P的軌跡方程；
（2）|
NP
|的最小值與最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若橢圓
x2
12
+
y2
8
=1上有兩點P、Q關于直線l：6x-6y-1=0對稱，則PQ的中點M的坐標是（　　）
A．(
1
3
，
1
6
)		B．(
1
2
，
1
3
)		C．(-
1
3
，-
1
2
)		D．(-
1
2
，-
1
3
)

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于A，B兩點．
（1）求證：直線l與雙曲線C只有一個公共點；
（2）設直線l與雙曲線C的公共點為M，且
AM
=λ
AB
，證明：λ+e2=1；
（3）設P是點F1關于直線l的對稱點，當△PF1F2為等腰三角形時，求e的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點M 在棱AB上，且AM=
1
3
，點P是平面ABCD上的動點，且動點P到直線A1D1的距離與點P到點M 的距離的平方差為2，則動點P的軌跡是（　　）
A．圓B．拋物線C．雙曲線D．直線

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，過橢圓的右焦點F的直線l與橢圓交于點A、B，定直線x=4交x軸于點K，直線KA和直線KB的斜率分別是k1、k2．
（1）若直線l的傾斜角是45°，求線段AB的長；
（2）求證：k1+k2=0．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

矩形ABCD的中心在坐標原點，邊AB與x軸平行，AB=8，BC=6．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點，R，S，T是線段OF的四等分點，R′，S′，T′是線段CF的四等分點．設直線ER與GR′，ES與GS′，ET與GT′的交點依次為L，M，N．
（1）求以HF為長軸，以EG為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據(jù)條件可判定點L，M，N都在（1）中的橢圓Q上，請以點L為例，給出證明（即證明點L在橢圓Q上）．
（3）設線段OF的n（n∈N+，n≥2）等分點從左向右依次為Ri（i=1，2，…，n-1），線段CF的n等分點從上向下依次為Ti（i=1，2，…，n-1），那么直線ERi（i=1，2，…，n-1）與哪條直線的交點一定在橢圓Q上？（寫出結果即可，此問不要求證明）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設雙曲線C的焦點在y軸上，離心率為
2
，其一個頂點的坐標是（0，1）．
（Ⅰ）求雙曲線C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l與該雙曲線交于A、B兩點，且A、B的中點為（2，3），求直線l的方程．

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同步練習冊答案