Question

定義在D上的函數，如果滿足：存在常數M＞0，對任意x∈D都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數．
（1）試判斷函數f(x)=2sin(x+

π

6

)+3在實數集R上，函數g(x)=x3+

3

x

在[

1

3

，3]上是不是有界函數？若是，請給出證明；若不是，請說出理由．
（2）若已知某質點的運動距離S與時間t的關系為S(t)=

1

4

t4+3lnt-at，要使在t∈[

1

3

，3]上每一時刻的瞬時速度的絕對值都不大于13，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）∵函數f(x)=2sin(x+

π

6

)+3在R上的最大值為5，最小值為-1，
存在常數M=5，對任意x∈R都有|f（x）|≤M，∴f（x）在R上是有界函數．
∵g(x)=x3+

3

x

，x∈[1，3]，∴g/(x)=3x2-

3

x2

，
由g/(x)=3x2-

3

x2

=0，得x=1或x=-1
所以g（x）在[

1

3

，1]上單調遞減，g（x）在[1，3]上單調遞增，而g(3)＞g(

1

3

)
∴g（x）在[

1

3

，3]上的最大值為g（3）=28，最小值為g（1）=4
所以存在常數M=28，對任意x∈[

1

3

，3]都有|g（x）|≤M，∴g（x）是[

1

3

，3]上是有界函數．
（2）因為運動方程為S(t)=

1

4

t4+3lnt-at，所以瞬時速度V(t)=S/(t)=t3+

3

t

-a
由當t∈[

1

3

，3]時，|V（t）|≤13恒成立，即|t3+

3

t

-a|≤13對t∈[

1

3

，3]恒成立
即

a≥t3+ 3 t -13 a≤t3+ 3 t +13

對t∈[

1

3

，3]恒成立，由（1）可得15≤a≤17
所以實數a的取值范圍[15，17]