Question

（本小題滿分12分） 已知其中是自然對數(shù)的底 .

(1)若在處取得極值，求的值；

(2)求的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)，存在，使得成立，求 的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 。(Ⅱ) 綜上所述，當(dāng)時，的減區(qū)間是，

當(dāng)時，的減區(qū)間是，增區(qū)間是.  (III) .

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的運(yùn)用，求解極值和單調(diào)區(qū)間，以及證明不等式的總額和運(yùn)用。

（1）.                              

由已知, 解得.

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102512494589067843/SYS201210251252122656789208_DA.files/image009.png">，對于參數(shù)a大于零還是小于零，還是等于零分情況討論得到單調(diào)性。

（3）當(dāng)時,由(Ⅱ)知的最小值是；         

易知在上的最大值是，則轉(zhuǎn)換為不等式組得到結(jié)論。

解： (Ⅰ) .                              

由已知, 解得.                            

經(jīng)檢驗(yàn), 符合題意.                     ………… 3分

(Ⅱ) .

1)                        當(dāng)時，在上是減函數(shù).

2)當(dāng)時，.

①                    若，即，

則在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

② 若  ，即，則在上是減函數(shù).   

綜上所述，當(dāng)時，的減區(qū)間是，

當(dāng)時，的減區(qū)間是，增區(qū)間是.   ……… 7分

(III)當(dāng)時,由(Ⅱ)知的最小值是；         

易知在上的最大值是；                    

注意到,

故由題設(shè)知                            

解得.故的取值范圍是.              ……… 12分