Question

．(12分)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90º，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，
DE⊥EB

(1)求證：AC是△BDE的外接圓的切線；
(2)若AD=6，AE=6，求BC的長。

Answer 1

(1) 見解析；(2) BC=4。

本題主要考查了切線的判定定理的應用，直角三角形基本關系的應用，屬于基本知識的簡單綜合．
（Ⅰ）要證明AC是△BDE的外接圓的切線，故考慮取BD的中點O，只要證明OE⊥AC，結合∠C=90°，證明BC∥OE即可
（Ⅱ）設⊙O的半徑為r，則在△AOE中，由OA²=OE²+AE²，可求r，代入可得OA，2OE，Rt△AOE中，可求∠A，∠AOE，進而可求∠CBE=∠OBE，在BCE中，通過EC與BE的關系可求
解：(1)取BD的中點O，連結OE
∵DE⊥EB
∴DB是△BED的外接圓的直徑，
∴OE是⊙O的半徑
∴BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC
∵OE=OB ∴∠ABE=∠DEO
∴∠DEO=∠EBC，∴EO∥BC
∵∠C=90º，∴∠AEO=90º  ∴AC是⊙O的切線……….6分
(2)由(1)得：AE²=AD•AB
∴(6)²=6•AB，AB=12，∴OE=OD=3，AO=9
∵EO∥BC，∴，即，∴BC=4………12分