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定義在實數集R上的函數與y軸的交點為A，點A到原點的距離不大于1；
（1）求a的范圍；
（2）是否存在這樣的區間，使對任意a，f（x）在該區間上為增函數？若存在，求出該區間，若不存在，說明理由．
【答案】分析：（1）函數圖象與y軸交點為（0，a），則|a|≤1，從而可求
（2）對函數求導，由函數f（x）在該區間上為增函數可得f'（x）＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立，構造關于a的函數g（a）=（x-2）a+x2-4x+4＞0對任意的a∈[-1，1]恒成，結合一次函數的性質可求x的范圍
解答：解：（1）函數圖象與y軸交點為（0，a），則|a|≤1，∴-1≤a≤1；------------------（3分）
（2）f'（x）=x2+（a-4）x+2（2-a）=（x-2）a+x2-4x+4，---------------（7分）
令f'（x）＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立，
即不等式g（a）=（x-2）a+x2-4x+4＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立，---（9分）
其充要條件是：，------------（11分）
解得x＜1，或x＞3．--------------（13分）
所以當x∈（-∞，1）或x∈（3，+∞）時，f'（x）＞0對任意a∈[-1，1]恒成立，
所以對任意a∈[-1，1]函數f（x）均是單調增函數．--------------（14分）
故存在區間（-∞，1）和（3，+∞），對任意a∈[-1，1]，f（x）在該區間內均是單調增函數．
點評：本題主要考查了利用導數與函數 的單調性的關系的應用，解題的關鍵是根據導數的知識得到f'（x）＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立時，構造關于a的一次函數進行求解，體現了轉化的思想在解題中的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義在實數集R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=Ax+B（A，B為常數）使得f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立，則稱
g（x）為函數f（x）的一個承托函數．以下說法
（1）函數f（x）=x2-2x不存在承托函數；
（2）函數f（x）=x3-3x不存在承托函數；
（3）函數f(x)=
2x
x2-x+1
不存在承托函數；
（4）g（x）=1為函數f（x）=x4-2x3+x2+1的一個承托函數；
（5）g（x）=x為函數f（x）=ex-1的一個承托函數．
中正確的個數為（　　）
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在實數集R上的函數y=f（x）滿足條件：對于任意實數x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）是奇函數；
（3）若x＞0時，f（x）＞0，f（-1）=-2，求f（x）在[-2，1]上的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義在實數集R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=Ax+B（A，B為常數），使得f（x）≥g（x）對一切實數x都成立，那么稱g（x）為函數f（x）的一個承托函數．
下列說法正確的有：
①②
①②
．（寫出所有正確說法的序號）
①對給定的函數f（x），其承托函數可能不存在，也可能有無數個；
②g（x）=ex為函數f（x）=ex的一個承托函數；
③函數f(x)=
x
x2+x+1
不存在承托函數；
④函數f(x)=
1
5x2-4x+11
，若函數g（x）的圖象恰為f（x）在點p(1，
1
2
)處的切線，則g（x）為函數f（x）的一個承托函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

定義在實數集R上的函數數學公式與y軸的交點為A，點A到原點的距離不大于1；
（1）求a的范圍；
（2）是否存在這樣的區間，使對任意a，f（x）在該區間上為增函數？若存在，求出該區間，若不存在，說明理由．

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