Question

已知A（1，0），B（4，0），動點T（x，y）滿足

|TA|

|TB|

=

1

2

，設動點T的軌跡是曲線C，直線l：y=kx+1與曲線C交于P，Q兩點．
（1）求曲線C的方程；
（2）若

OP

•

OQ

=-2，求實數k的值；
（3）過點（0，1）作直線l₁與l垂直，且直線l₁與曲線C交于M，N兩點，求四邊形PMQN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設D（x，y）為曲線C上任一點，由動點T（x，y）滿足

|TA|

|TB|

=

1

2

，利用兩點間距離公式能求出曲線C的方程．
（2）因為

OP

•

OQ

=2×2×cos∠POQ=-2，所以cos∠POQ=-

1

2

，∠POQ=120°，由此利用圓心到直線l：kx-y+1=0的距離能求出k．
（3）當k=0時，四邊形PMQN面積為4

3

．當k≠0時，圓心到直線l：kx-y+1=0的距離d=

1

k2+1

，S_PMQN=

1

2

|MN||PQ|=2

4- 1 k2+1

•

3+ 1 k2+1

，由此能求出四邊形PMQN面積最大值．

解答：解：（1）設D（x，y）為曲線C上任一點，
∵動點T（x，y）滿足

|TA|

|TB|

=

1

2

，
∴

|CA|

|CB|

=

1

2

=

(x-1)2+y2

(x-4)2+y2

，
化簡整理得x²+y²=4．
∴曲線C的方程為x²+y²=4．（3分）
（2）因為

OP

•

OQ

=2×2×cos∠POQ=-2，
所以cos∠POQ=-

1

2

，∠POQ=120°，
所以圓心到直線l：kx-y+1=0的距離d=

1

k2+1

=1，
所以k=0．（6分）
（3）當k=0時，|MN|=2

3

，|PQ|=4，SPMQN=

1

2

×2

3

×4=4

3

當k≠0時，圓心到直線l：kx-y+1=0的距離d=

1

k2+1

，
所以|MN|=2

4- 1 k2+1

l1：y=-

1

k

x+1，
同理得|PQ|=2

4- 1 (- 1 k )2+1

=2

4- k2 k2+1

=2

3+ 1 k2+1

，
∴S_PMQN=

1

2

|MN||PQ|=2

4- 1 k2+1

•

3+ 1 k2+1

，
S=2

-( 1 k2+1 - 1 2 )2+ 49 4

≤2×

7

2

=7，
當且僅當k=±1時取等號，
∴當k=±1時，S_max=7，
綜上所述，當k=±1時，四邊形PMQN面積有最大值7．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的實數值的求法，考查四邊形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意向量知識、兩點間距離公式、點到直線的距離公式等知識點的合理運用．