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如圖，正△ABC的邊長為15，
AP
=
1
3
AB
+
2
5
AC
，
BQ
=
1
5
AB
+
2
5
AC
．
（1）求證：四邊形APQB為梯形；
（2）求梯形APQB的面積．
分析：（1）由已知中正△ABC的邊長為15，
AP
=
1
3
AB
+
2
5
AC
，
BQ
=
1
5
AB
+
2
5
AC
．根據(jù)向量加法的三角形法則，我們可得
PQ
=
13
15
AB
，根據(jù)數(shù)乘向量的幾何意義，我們可得
PQ
∥
AB
，但|
PQ
|≠|(zhì)
AB
|，進(jìn)而根據(jù)梯形的判定定理得到四邊形APQB為梯形；
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合（1）中的結(jié)論，我們可得|
PQ
|=13，|
AB
|=15，梯形APQB的高h(yuǎn)為正△ABC的AB邊上高的
2
5
，代入梯形面積公式，即可求出梯形APQB的面積．
解答：解：（1）因
PQ
=
PA
+
AB
+
BQ

=-
1
3
AB
-
2
5
AC
+
AB
+
1
5
AB
+
2
5
AC
=
13
15
AB
，
故
PQ
∥
AB
，
且|
PQ
|=13，|
AB
|=15，
|
PQ
|≠|(zhì)
AB
|，
于是四邊形APQB為梯形．
（2）設(shè)直線PQ交AC于點M，
則
AM
=
2
5
AC
，
故梯形APQB的高h(yuǎn)為正△ABC的AB邊上高的
2
5
，
即h=
2
5
×
3
2
×15=3
3
．
從而，梯形APQB的面積為
1
2
(13+15)×3
3
=42
3
．
點評：本題考查的知識點是平面向量加法的三角形法則，數(shù)乘向量的幾何意義，梯形面積公式，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)向量加法的三角形法則，求出
PQ
=
13
15
AB
，進(jìn)而根據(jù)數(shù)乘向量的幾何意義，分析PQ邊與AB的關(guān)系，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)已知求出梯形的上、下底邊長及高的長度．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（選做題）（幾何證明選講）如圖，正△ABC的邊長為2，點M，N分別是邊AB，AC的中點，直線MN與△ABC的外接圓的交點為P、Q，則線段PM=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•株洲模擬）如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求二面角E-DF-C的余弦值；
（3）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？如果存在，求出
BPBC
的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正△ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E、F分別是AD和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（1）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由； 
（2）求異面直線AB與DE所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年河北衡水中學(xué)高三上學(xué)期第五次調(diào)研考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求棱錐E-DFC的體積；

（3）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

 

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