Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+m•2ⁿ（m是與無關的常數且m≠0）．
（1）設bn=

an

2n

，證明數列{b_n}是等差數列，并求a_n；
（2）若數列{a_n}是單調遞減數列，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用a_n+1=2a_n+m•2ⁿ，兩邊同除2ⁿ，推出b_n+1，b_n的關系，然后判斷數列是否是等差數列．
（2）通過（1）求出數列 a_n，利用數列{a_n}是單調遞減數列，通過a_n+1-a_n＜0，求出m的最小值．

解答：（本小題滿分13分）
解：（1）由題意a_n+1=2a_n+m•2ⁿ
等式兩邊同除2ⁿ⁺¹，得：

an+1

2n+1

=

an

2n

+

m

2

，
即：bn+1=bn+

m

2

，
而b₁=

a1

21

=

1

2

∴是數列{b_n}是首項為

1

2

，公差為

m

2

的等差數列．
∴bn=

1

2

+(n-1)

m

2

=

mn+1-m

2

，
因為bn=

an

2n

，所以a_n=2ⁿb_n，
a_n=2^n-1（mn+1-m）．
（2）由（1）得：a_n=2^n-1（mn+1-m），
a_n+1-a_n=[m（n+1）+1-m]•2ⁿ-（mn+1-m）•2^n-1
=2^n-1（mn+1+m）
∵數列{a_n}是單調遞減數列，
∴對任意的正整數n，不等式2^n-1（mn+1+m）＜0恒成立，
即m＜-

1

n+1

恒成立?m＜(-

1

n+1

)min=-

1

2

．
所以m的取值范圍是（-∞，-

1

2

）．

點評：本題是中檔題，考查數列的判定，數列通項公式的求法，考查計算能力，邏輯推理能力．