Question

已知圓C：x²+y²=2，坐標原點為O．圓C上任意一點A在x軸上的射影為點B，已知向量

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

(t∈R，t≠0)．
（1）求動點Q的軌跡E的方程；
（2）當t=

2

2

時，過點S（0，-

1

3

）的動直線l交軌跡E于A，B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過T點？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

，可得坐標之間的故選，利用代入法，可求動點Q的軌跡E的方程；
（2）先判斷所求的點T如果存在，只能是（0，1），再證明．直線l不垂直于x軸，可設出直線方程，與圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理，推斷TA⊥TB，即可得以AB為直徑的圓恒過點T（1，0）．

解答：解：（1）設Q（x，y），A（x₀，y₀），B（x₀，0）．
∵

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

，∴（x，y）=t（x₀，y₀）+（1-t）（x₀，0）=（x₀，ty₀），
∴

x0=x y0= 1 t y

．
又A（x₀，y₀）在圓x²+y²=2上，
∴軌跡E的方程為x2+

y2

t2

=2，即

x

2

2+

y2

2t2

=1…．…（4分）
（2）當t=

2

2

時，軌跡E的方程為

x

2

2+y2=1
（ⅰ）當l與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程為x2+(y+

1

3

)2=

16

9

（ⅱ）當l與y軸平行時，以AB為直徑的圓的方程為x²+y²=1
聯(lián)立解得兩圓相切于點（0，1），．…..…（6分）
因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）．
事實上，點T（0，1）就是所求的點，證明如下：
當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓x²+y²=1過點T（0，1）．
若直線l不垂直于x軸，可設直線l的方程為y=kx-

1

3

，
代入橢圓方程，消去y得（18k²+9）x²-12kx-16=0．
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
又∵

TA

=（x₁，y₁-1），

TB

=（x₂，y₂-1），
∴

TA

•

TB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+（kx₁-

1

3

）（kx₂-

1

3

）
=（1+k²）x₁x₂-

1

3

k（x₁+x₂）+

1

9

=（1+k²）•

-16

18k2+9

-

1

3

k•

-12k

18k2+9

+

1

9

=0，
∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1），
綜上，在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件..…（10分）

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和直線與橢圓的綜合問題，考查向量知識的運用，考查了學生分析問題和解決問題的能力．