Question

（08年南昌市一模理）( 14分) 已知數列滿足

（1）  求數列的通項公式；

（2）  設b= (n∈N,n≥2), b,

①求證：b+b+……+b< 3 ;

②設點M(n,b)((n∈N,n>2)在這些點中是否存在兩個不同的點同時在函數

y =(k>0)的圖象上,如果存在,求出點的坐標,若不存在,請說明理由.

Answer 1

解析：(1) 解法一∵

 ∴………4分

∴數列{}是以首項a₁+1，公比為2的等比數列，即

       ……………6分

解法二、……………………①

            …………………………②

    ②－①得

        

         為公比為2，首項為2的等比數列. …………4分

         遞推迭加得

         …………………………6分

(也可用數學歸法證明：)

(1)  b== =

≤(n≥2)………8分

∴b+b+……+b

=1+, 

n=1時,b=1<3 成立, 所以b+b+……+b< 3 .………10分

(2)  假設有兩個點A(p,b),B(q,b)(p≠q,p,q∈N*,且P>2,q>2),都在y = 上,

即b=, ,   ∴

  ……①   ………12分

 

以下考查數列，的增減情況， ，

當n>2時, n² －3n+1>0 ,所以對于數列{C_n }有C₂>C₃>C₄>……>C_n>……,

所以不可能存在p,q使①成立,因而不存在這樣的兩個點.……14分