Question

某工廠生產一種機器的固定成本為5000元，且每生產100部，需要增加投入2500元，對銷售市場進行調查后得知，市場對此產品的需求量為每年500部．已知年銷售收入為H(x)=500x-

1

2

x2，其中x是產品售出的數量．
（1）若x為年產量，y表示年利潤，求y=f（x）的表達式．（年利潤=年銷售收入-投資成本（包括固定成本））
（2）當年產量為何值時，工廠的年利潤最大，其最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）本題考查的是分段函數的有關知識，當0≤x≤500時，w=500x-

1

2

x2-（5000+25x），當x＞500時，w=500×500-

1

2

-500²；
（2）用配方法化簡解析式，求出最大值．

解答：解：（1）當0≤x≤500時，產品全部售出
∴W=500x-

1

2

x2-(5000+25x)
即 W=-

1

2

x2+475x-5000（2分）
當x＞500時，產品只能售出500臺
∴W=500×500-

1

2

×5002-(5000+25x)
即，W=-25x+120000（4分）
（2）當0≤x≤500時，W=-

1

2

(x-475)2+107812.5（6分）
當x＞500時，W=120000-25x＜120000-25×500=107500（8分）
故當年產量為475臺時取得最大利潤，且最大利潤為107812.5元，最佳生產計劃475臺．（10分）

點評：本題考查的是二次函數的實際應用，用配方法可求出最大值，配方法求最值是常用的方法，屬于基礎題．